Théorème de convergence monotone de Beppo Levi
Théorème
Théorème de convergence monotone de Beppo Levi (on ne suppose pas la convergence) :
- soit \((f_n)_n\) une suite croissante de fonctions
- \(f_n\in L^1\) (\(\forall n\))
- \(\displaystyle\sup_n\int f_n\lt \infty\) (toutes les intégrales convergent)
$$\Huge\iff$$
- \(f_n(x)\) converge pp vers une limite finie \(f\)
- \(f\in L^1\)
- \(\lVert f_n-f\rVert_{L^1}\to0\)
Théorème de convergence monotone de Beppo Levi (on suppose la convergence) :
- soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions
- \(f_n\nearrow f\)
$$\Huge\iff$$
- $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int f_n=\int\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n$$
